SOAL dan PEMBAHASAN TEORI BILANGAN

1.a,b  ℤ,Tentukan relasi antara a dan b berdasarkan konsep teori bilangan

2.x,y  relative prima,tentukan relasi antara x dan y bwerdasarkan teori bilangan

3.cari FPB dan KPK dari: 2812 dan 2013

PENYELESAIAN

1.      Relasi a,  b  Z berdasarkan konsep teori bilangan

Definisi : Bilangan bulat a membagi ( habis ) bilangan bulat b ditulis a|b jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian hingga b = ka. Jika a tidak membagi ( habis ) b maka ditulis a b

                                                             

·         Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan  b│c maka a│c.

Bukti

a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga  c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p  anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.   

·         Jika a|b maka a|mb, umtuk setiap bilangan bulat m.

Bukti

Apabila a|b, yaiitu a membagi habis b maka a membagi habis setiap kelipatan b, yaitu a|mb, untuk setiap bilangan bulat m.

·         Apabila a│b dan a │c maka a │(b+c), a│(b-c), dan a│bc.

Bukti

Apabila a│b dan a│c, menurut Definisi maka diperoleh b = ka dan c = ma untuk bilangan-bilangan bulat k dan m.

Dari dua kesamaan ini dapat diperoleh bahwa:

1.      b + c = ( k + m ) a, berarti a│( b + c )

2.      b – c = ( k – m ) a, berarti a│( b – c )

3.      b   c  = ( k m ) a, berarti a│b c

·         apabila a│b dan a│c maka a│( m b + n c ) untuk setiap bilangan bulat m dan n

Bukti

Karena a│b dan a│c, maka a│mb dan a│nc untuk setiap bilangan-bilangan bulat m dan n. maka a│( m b + n c )

·         Jika a│b dan b ≠ 0 maka | a | ≤ | b |, dan Jika a│b dan b│a maka | a | = | b |.

Bukti

Ø  Jika  a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat  m ≠ 0 sedemikian sehingga  b = a m. Karena b = a m maka | b | = | a m | ≥ | a | sehingga,

 | a | ≤ | b |. 

Ø  Andaikan  a│b dan b│a.  Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0  maka b ≠ 0. Jika  a ≠ 0 dan  b ≠ 0 maka  | a | ≤ | b | dan | b | ≤ | a | sehingga | a | = | b |

·         Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat b > 0. Jika a dibagi dengan b maka terdapat dua buah bilangan bulat q ( hasil ) dan r ( sisa ), sedemikian sehingga a = bq + r, dengan 0 ≤ r  n.

2.      Relaasi x dan y yang relatif prima berdasarkan konsep teori bilangan

·         Jika dua buah bilangan bulat x dan y dikatakan relative prima jika PBB ( x,y ) = 1

·         Jika x, y = z maka (x : z, y : z)= 1

Apabila x dan y dua bilangan bulat positif dengan (x,y) = 1 maka dikatakan bahwa x dan y saling prima atau x relatif prima terhadap y.

·         Apabila x dan y dua bilangan bulat tidak nol maka x dan y saling prima jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat m dan n yang memenuhi xm + yn = 1.

·          

3. FPB dan KPK dari 2812 dan 2013.

·         FPB/PBB dari 2812 dan 2013

{2812,2013}
2812 = 1 x 2013 + 799  maka (2812,2013)=(2013,799)

2013 = 2 x 799 + 415    maka (2013,799)=(799,415)

799 = 1 x 415  + 384     maka ( 799, 415 )= (415,384)

415 =1 x 384 + 31         maka (415, 384) = (384 ,31 )

384 = 12 x31 + 12         maka (384,31 )= (31,12)

31 = 2x12 +7                 maka (31,12) =(12,7)

12 =1 x7 +5                   maka (12,7 ) =(7,5 )

7 = 1 x5 + 2                   maka (7,5) =(5,2)

5 = 2 x2 +1                    maka (5,2 )=(2,1)

2 =2 x 1 +0                    maka (2,1) =(1,0 )

Jadi,FPB ( 2812,2013) = 1

·         KPK dari 2812 dan 2013

[ 2812,2013]= [ 1 . 2812 , 1 . 2013 ]

                      = 1 [ 2812 . 2013 ]

                      = 1 . 5660556

                      = 5660556

Jadi, KPK [2812,2013]= 5660556